Question

8．已知函数f（x）=（x²+ax-a）$\sqrt{x}$．
（1）若a=-4时，求函数f（x）的极值；
（2）若函数f（x）在区间（1，2）上单调递减，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）求出函数的导数，问题转化为f'（x）≤0在区间（1，2）上恒成立，得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）$f'（x）=\frac{（5x-2）（x-2）}{{2\sqrt{x}}}$，$f'（x）＞0⇒0＜x＜\frac{2}{5}或x＞2$；
$f'（x）＜0⇒\frac{2}{5}＜x＜2$，$f'（x）=0⇒x=\frac{2}{5}或x=2$，
x，f′（x），f（x）的变换如下表：

x	$（0，\frac{2}{5}）$	$\frac{2}{5}$	$（\frac{2}{5}，2）$	2	（2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
y	递增	极大值	递减	极小值	-递增

$f{（x）_{极大值}}=f（\frac{2}{5}）=\frac{{64\sqrt{10}}}{125}；f{（x）_{极小值}}=f（2）=0$；
（2）$f'（x）=\frac{{5{x^2}+3ax-a}}{{2\sqrt{x}}}$，f（x）在区间（1，2）上单调递减，
⇒f'（x）≤0在区间（1，2）上恒成立
$⇒\left\{\begin{array}{l}f'（1）≤0\\ f'（2）≤0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}5+2a≤0\\ 20+5a≤0\end{array}\right.⇒a≤4$．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题．