Question

10．若a_n＞0，a₁=2，且a_n+a_n-1=$\frac{n}{{a}_{n}-{a}_{n-1}}$+2（n≥2），则$\frac{1}{（{a}_{1}-1）^{2}}$+$\frac{1}{（{a}_{2}-1）^{2}}$+…+$\frac{1}{（{a}_{n}-1）^{2}}$=$\frac{2n}{n+1}$．

Answer 1

分析 a_n+a_n-1=$\frac{n}{{a}_{n}-{a}_{n-1}}$+2（n≥2），取分母化为：$（{a}_{n}-1）^{2}$-$（{a}_{n-1}-1）^{2}$=n．利用“累加求和”可得$（{a}_{n}-1）^{2}$，再利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：∵a_n+a_n-1=$\frac{n}{{a}_{n}-{a}_{n-1}}$+2（n≥2），
∴${a}_{n}^{2}-{a}_{n-1}^{2}$=n+2（a_n-a_n-1），
化为：$（{a}_{n}-1）^{2}$-$（{a}_{n-1}-1）^{2}$=n．
∴$（{a}_{n}-1）^{2}$=[$（{a}_{n}-1）^{2}$-$（{a}_{n-1}-1）^{2}$]+[$（{a}_{n-1}-1）^{2}$-$（{a}_{n-2}-1）^{2}]$+…+$[（{a}_{2}-1）^{2}-（{a}_{1}-1）^{2}]$+$（{a}_{1}-1）^{2}$
=n+（n-1）+…+2+1=$\frac{n（n+1）}{2}$．
∴$\frac{1}{（{a}_{n}-1）^{2}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴$\frac{1}{（{a}_{1}-1）^{2}}$+$\frac{1}{（{a}_{2}-1）^{2}}$+…+$\frac{1}{（{a}_{n}-1）^{2}}$=2$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=2$（1-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{2n}{n+1}$．
故答案为：$\frac{2n}{n+1}$．

点评 本题考查了数列递推关系、“累加求和”方法、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．