Question

已知函数f(x)=lnx-ax+

1-a

x

-1(a∈R)．
（Ⅰ）当a=-1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）当a≤

1

2

时，讨论f（x）的单调性．

Answer 1

（Ⅰ）当a=-1时，f（x）=lnx+x+

2

x

-1，x∈（0，+∞），
所以f′（x）=

1

x

+1-

2

x2

，因此，f′（2）=1，
即曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为1，
又f（2）=ln2+2，y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-（ln2+2）=x-2，
所以曲线，即x-y+ln2=0；
（Ⅱ）因为f(x)=lnx-ax+

1-a

x

-1，
所以f′(x)=

1

x

-a+

a-1

x2

=-

ax2-x+1-a

x2

，x∈（0，+∞），
令g（x）=ax²-x+1-a，x∈（0，+∞），
（1）当a=0时，g（x）=-x+1，x∈（0，+∞），
所以，当x∈（0，1）时，g（x）＞0，
此时f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
（2）当a≠0时，由g（x）=0，
即ax²-x+1-a=0，解得x₁=1，x₂=

1

a

-1．
①当a=

1

2

时，x₁=x₂，g（x）≥0恒成立，
此时f′（x）≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；
②当0＜a＜

1

2

时，
x∈（0，1）时，g（x）＞0，此时f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
x∈（1，

1

a

-1）时，g（x）＜0，此时f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
x∈（

1

a

-1，+∞）时，g（x）＞0，此时f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
③当a＜0时，由于

1

a

-1＜0，
x∈（0，1）时，g（x）＞0，此时f′（x）＜0函数f（x）单调递减；
x∈（1，+∞）时，g（x）＜0此时函数f′（x）＞0函数f（x）单调递增．
综上所述：
当a≤0时，函数f（x）在（0，1）上单调递减；
函数f（x）在（1，+∞）上单调递增
当a=

1

2

时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减
当0＜a＜

1

2

时，函数f（x）在（0，1）上单调递减；
函数f（x）在（1，

1

a

-1）上单调递增；
函数f（x）在（

1

a

-1，+∞）上单调递减．