Question

已知函数f(x)＝，其中a∈R.若对任意的非零实数x₁，存在唯一的非零实数x₂(x₂≠x₁)，使得f(x₂)＝f(x₁)成立，则实数k的取值范围是________．

Answer 1

(－∞，0]∪[8，＋∞)

由题知当x＝0时，f(x)＝k(1－a²)．又对任意的非零实数x₁，存在唯一的非零实数x₂(x₂≠x₁)，使得f(x₂)＝f(x₁)成立，所以函数f(x)必须是连续函数，即在x＝0附近的左、右两侧，其函数值相等．于是(3－a)²＝k(1－a²)，即(k＋1)a²－6a＋9－k＝0有实数解，所以Δ＝6²－4(k＋1)(9－k)≥0，解得k≤0或k≥8.