Question

5．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，异面直线AC与C₁D所成的角为（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{π}{4}$
• D． $\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC与C₁D所成的角．

解答 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱长为1，
则A（1，0，0），C（0，1，0），D（0，0，0），C₁（0，1，1），
$\overrightarrow{AC}$=（-1，1，0），$\overrightarrow{{C}_{1}D}$=（0，-1，-1），
设异面直线AC与C₁D所成的角为θ，
则cosθ=|cos＜$\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{{C}_{1}D}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{{C}_{1}D}|}{|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{{C}_{1}D}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴θ=$\frac{π}{3}$．
∴异面直线AC与C₁D所成的角为$\frac{π}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．