Question

14．已知函数f（x）=e^x+$\frac{a}{{e}^{x}}$（a∈R）是定义域为R的奇函数，其中e是自然对数的底数．
（1）求实数a的值；
（2）若存在x∈（0，+∞），使不等式f（x²+x）+f（2-tx）＜0成立，求实数t的取值范围；
（3）若函数y=e^2x+$\frac{1}{{e}^{2x}}$-2mf（x）在（m，+∞）上不存在最值，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意，由奇函数的性质可得以$?x∈R，f（-x）+f（x）={e^{-x}}+\frac{a}{{{e^{-x}}}}+{e^x}+\frac{a}{e^x}=0$，解可得a的值；
（2）由函数为奇函数可得f（x²+x）＜f（tx-2），对f（x）求导分析可得f（x）为增函数，进而分析可以将不等式f（x²+x）+f（2-tx）＜0转化为存在x∈（0，+∞），x²+x＜tx-2成立，由基本不等式的性质分析可得答案．
（3）根据题意，计算可得y=e^2x+$\frac{1}{{e}^{2x}}$-2mf（x）的解析式，用换元法分析可得y=t²-2mt+2，在$t∈（{e^m}-\frac{1}{e^m}，+∞）$上不存在最值，由二次函数的性质分析可得答案．

解答 解：（1）因为$f（x）={e^x}+\frac{a}{e^x}$在定义域R上是奇函数，
所以$?x∈R，f（-x）+f（x）={e^{-x}}+\frac{a}{{{e^{-x}}}}+{e^x}+\frac{a}{e^x}=0$
即$（a+1）（{e^x}+\frac{1}{e^x}）=0$恒成立，
所以a=-1，此时$f（x）={e^x}-\frac{1}{e^x}$，
（2）因为f（x²+x）+f（2-tx）＜0
所以f（x²+x）＜-f（2-tx）
又因为$f（x）={e^x}+\frac{a}{e^x}$在定义域R上是奇函数，
所以f（x²+x）＜f（tx-2）
又因为${f^'}（x）={e^x}+\frac{1}{e^x}＞0$恒成立
所以$f（x）={e^x}-\frac{1}{e^x}$在定义域R上是单调增函数
所以存在x∈（0，+∞），使不等式f（x²+x）+f（2-tx）＜0成立
等价于存在x∈（0，+∞），x²+x＜tx-2成立，
所以存在x∈（0，+∞），使（t-1）x＞x²+2，即$t-1＞x+\frac{2}{x}$
又因为$x+\frac{2}{x}≥2\sqrt{2}$，当且仅当$x=\sqrt{2}$时取等号
所以$t-1≥2\sqrt{2}$，即$t≥2\sqrt{2}+1$，
注：也可令g（x）=x²-（t-1）x+2
①对称轴${x_0}=\frac{t-1}{2}≤0$时，即t≤1g（x）=x²-（t-1）x+2在x∈（0，+∞）是单调增函数的．
由g（0）=2＞0不符合题意
②对称轴${x_0}=\frac{t-1}{2}＞0$时，即t＞1
此时只需△=（t-1）²-8≥0得$t≤1-2\sqrt{2}$或者$t≥1+2\sqrt{2}$
所以$t≥1+2\sqrt{2}$
综上所述：实数t的取值范围为$t≥1+2\sqrt{2}$．
（3）函数$y={e^{2x}}+\frac{1}{{{e^{2x}}}}-2m（{e^x}-\frac{1}{e^x}）={（{e^x}-\frac{1}{e^x}）^2}-2m（{e^x}-\frac{1}{e^x}）+2$
令$t={e^x}-\frac{1}{e^x}，t＞{e^m}-\frac{1}{e^m}$
则$y={e^{2x}}+\frac{1}{{{e^{2x}}}}-2mf（x）$在x∈（m，+∞）不存在最值等价于函数y=t²-2mt+2，
在$t∈（{e^m}-\frac{1}{e^m}，+∞）$上不存在最值，
由函数y=t²-2mt+2，的对称轴为t₀=m得：${e^m}-\frac{1}{e^m}＞m$成立，
令$g（m）={e^m}-\frac{1}{e^m}-m$
由${g^'}（m）={e^m}+\frac{1}{e^m}-1≥2-1=1＞0$
所以$g（m）={e^m}-\frac{1}{e^m}-m$在m∈R上是单调增函数．
又因为g（0）=0，
所以实数m的取值范围为m＞0．

点评 本题考查函数的最值以及恒成立问题，关键是由奇函数的性质求出a的值．