Question

16．已知在平面直角坐标系中，O是坐标原点，动圆P经过点F（0，1），且与直线l₁：y=-1相切．
（Ⅰ）求动圆圆心P的轨迹方程C；
（Ⅱ）过F（0，1）的直线m交曲线C于A、B两点，过A、B作曲线C的切线l₁，l₂，直线l₁，l₂交于点M，求△MAB的面积的最小值．

Answer 1

分析 （I）根据P到F和P到直线y=-1的距离相等列方程得出轨迹方程；
（II）设直线AB的方程为y=kx+1，和A，B的坐标，用A，B的坐标表示出切线方程，得出M点坐标，计算|AB|和M到直线AB的距离，得出面积关于k的表达式，从而得出面积的最小值．

解答 解：（I）设P（x，y），则|PF|=$\sqrt{{x}^{2}+（y-1）^{2}}$，
P到直线y=-1的距离为d=|y+1|，
∴$\sqrt{{x}^{2}+（y-1）^{2}}$=|y+1|，
整理得x²=4y，
∴动圆圆心P的轨迹C方程为：x²=4y．
（II）设直线AB方程为：y=kx+1，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，得x²-4kx-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，
由x²=4y得y=$\frac{{x}^{2}}{4}$，∴y′=$\frac{x}{2}$，
∴切线l₁方程为：y-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$=$\frac{{x}_{1}}{2}$（x-x₁），切线l₂的方程为：y-$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$=$\frac{{x}_{2}}{2}$（x-x₂），
联立方程组可得M（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}$），即M（2k，-1）．
∴|AB|=$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$+$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$+2=4k²+4，
M到直线AB的距离d=$\frac{2{k}^{2}+2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴S_△MAB=$\frac{1}{2}$×（4k²+4）×$\frac{2{k}^{2}+2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=4（1+k²）${\;}^{\frac{3}{2}}$，
∴当k=0时，S_△MAB取得最小值4．

点评 本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．