Question

如图，在三棱锥S-ABC中，SA=AB=AC=BC=

2

SB=

2

SC，0为BC的中点．
（I）求证：SO⊥面ABC；
（II）求异面直线SC与AB所成角的余弦值；
（III）在线段AB上是否存在一点E，使二面角B-SC-E的平面角的余弦值为

15

5

；若存在，求BE：BA的值；若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析：（I）由题意及所给的边长设SB=a，则SO=

2

2

a，AO=

6

2

a，SA=

2

a，得到SO⊥OA，及利用线线垂直的判定定理得到线面垂直；
（II）由题意及图形特点以O为原点，以OC所在射线为x轴正半轴，以OA所在射线为y轴正半轴，以OS所在射线为z轴正半轴建立空间直角坐标系，
写出点的坐标，利用异面直线所成角的定义求出夹角；
（III）由题意属于开放性的题目，利用假设存在，利用条件对于坐标设出未知的变量，利用向量的知识解出变量的大小，进而求出二面角的大小．

解答：解：（Ⅰ）
连接SO，显然∴SO⊥BC，
设SB=a，则SO=

2

2

a，AO=

6

2

a，SA=

2

a
∴SO²+OA²=SA²，∴SO⊥OA，
又∴BC∩OA=0，∴SO⊥平面ABC．
（Ⅱ）以O为原点，以OC所在射线为x轴正半轴，以OA所在射线为y轴正半轴
以OS所在射线为z轴正半轴建立空间直角坐标系．
则有O（0，0，0），
S(0，0 ，

2 a

2

)，C(

2 a

2

，0，0)，A(0，

2 a

2

，0)，B(-

2 a

2

，0，0)，
∴

SC

=(

2

2

a，0，-

2

2

a)
∴

AB

=(-

2

2

-

6 a

2

，0)，
∴cos＜

SC

，

AB

＞=-

2

4

，
∴异面直线SC与AB所成角的余弦值为

2

4

，
（Ⅲ）假设存在E满足条件，设

BE

=λ

BA

（0≤λ≤1），
则E=(

2

2

(λ-1)a，

6

2

λa，0)，

CE

=(

2

2

(λ-2)a，

6

2

λa，0)．
设面SCE的法向量为

n

=（x，y，z），
由

n • CE =0 n • SC =0

，得

(λ-2)x+ 3 λy=0 x-z=0

，

n

=(1，

2-λ

3 λ

，1)．
因为OA⊥面ABC，所以可取向量

m

=（0，1，0）为面SBC的法向量．
所以，cos(

m

，

n

)=

m • n

| m |•| n |

=

2-λ 3 -λ

2+( 2-λ 3 λ )2

=

15?

5

，
解得，λ=

1

2

．
所以，当BE：BA=1：2时，二面角B-SC-E的余弦值为

15

5

．

点评：此题重点考查了线面垂直的判定定理，还考查了利用空间向量的知识求异面直线所成的角及二面角，另外对于的三问这样开放型的题目，应先假设结论，由此推出具备的条件，在由此条件得到是否存在．