Question

【题目】已知函数f（x）=x+ （x≠0）．
（1）判断并证明函数在其定义域上的奇偶性；
（2）判断并证明函数在（2，+∞）上的单调性；
（3）解不等式f（2x2+5x+8）+f（x﹣3﹣x2）＜0．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=x+ 的定义域为：{x|x≠0}，关于原点对称，

且f（﹣x）=﹣x﹣ =﹣（x+ ）=﹣f（x）恒成立，

所以函数为奇函数

（2）解：函数f（x）=x+ 在（2，+∞）上为增函数，理由如下：

证法一：任取x1，x2∈（2，+∞）

则f（x1）﹣f（x2）=（x1﹣x2）（ ）

∵x1＜x2

∴x1﹣x2＜0，

又∵x1，x2∈（2，+∞），

∴x1x2＞4，x1x2﹣4＞0，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，

所以函数在（2，+∞）上为增函数，

证法二：∵f′（x）=1﹣ ＞0在（2，+∞）上恒成立，

故函数在（2，+∞）上为增函数

（3）解：因为2x2+5x+8＞2，x2﹣x+3＞2，

∴原不等式可化为：2x2﹣5x+8＜x2﹣x+3，

∴﹣5＜x＜﹣1

所以不等式的解集为：（﹣5，﹣1）

【解析】（1）根据函数奇偶性的定义，可判断函数为奇函数．（2）函数f（x）=x+ 在（2，+∞）上为增函数，证法一：利用定义法，可证明结论；证法二：利用导数法，可证明结论；（3）由2x2+5x+8＞2，x2﹣x+3＞2，故原不等式可化为：2x2﹣5x+8＜x2﹣x+3，解得答案．
【考点精析】掌握函数单调性的判断方法和函数单调性的性质是解答本题的根本，需要知道单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集．