Question

在长方体ABCD-A₁B₁C_lD_l中，已知AB=4，BC=2，CC_l=5，E，F分别是CD，CC_l上的点，A₁F⊥平面BEF，
（I）求CE，CF的长；
（Ⅱ）若CF＞2，求二面角A₁-BE-F的余弦值．

Answer 1

分析：（I）由题意画出一图形，因A₁F⊥平面BEF，进而得到A₁F⊥BE，在有线线垂直的到相似的三角形，得到CE与CE的长度；
（II）利用图形利用二面角平面角的概念找到二面角的平面角，在三角形中求解出二面角的三角函数值．

解答：解：由题意做出图形：
（I）连接AC，D₁F，
∵A₁F⊥平面BEF，∴A₁F⊥BE，
又BE⊥CF∴BE⊥平面A₁ACF，
∴BE⊥AC∴△BCE∽△ABE，
∴

CE

2

=

2

4

?CE=1
∵EF⊥A₁F，EF⊥A₁D₁，EF⊥平面A₁D₁F∴EF⊥D₁F∴

1

CF

=

5-CF

4

?CFCE=1或4
（II）∵CF＞2∴CF=4  设AC与BE交与点G，则AG⊥BE，FG⊥BE∴∠A₁GF就是A₁-BE-F的平面角AG=

8

5

，CG=

2

5

，A1G=

3 21

5

，FG=

2 21

5

∴cos∠A₁GF=

FG

A1G

=

2

3

∴二面角A₁-BE-F的余弦值为

2

3

．
故答案为：（I）CE=1，CF=1或4，（II）

2

3

．

点评：此题重点考查了利用线线垂直判断线面垂直进而得到线线垂直，还考查了利用三角形的相似解出线段长度，此外在第二问中海考查了利用二面角的平面角的概念找出二面角的平面角，及在三角形中解出平面角的大小．