Question

3．已知函数f（x）=e^x-x+$\frac{1}{2}{x^2}（e$为自然对数的底数）g（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$+ax+b（a∈R，b∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的极值；
（Ⅱ）若f（x）≥g（x），求b（a+1）的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用导函数求单调性，可得极值．
（Ⅱ）利用导函数讨论单调性，构造b（a+1），求其最大值．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=e^x-x+$\frac{1}{2}{x}^{2}$，
则f′（x）=e^x+x-1，
∵f′（x）=e^x+x-1在R上递增，且f′（0）=0，
∴当x＜0时，f′（x）＜0，
∴当x＞0时，f′（x）＞0，
故x=0为极值点：f（0）=1
（Ⅱ）g（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$+ax+b，
f（x）≥g（x），即e^x-x+$\frac{1}{2}{x}^{2}$≥$\frac{1}{2}{x^2}$+ax+b，等价于h（x）=e^x-x（a+1）-b≥0，
得：h′（x）=e^x-（a+1）
①当（a+1）＜0时，h′（x）在R上单调性递增，x∈-∞时，h（x）→-∝与h（x）≥0相矛盾．
②当（a+1）＞0时，h′（x）＞0，此时x＞ln（a+1），
h′（x）＜0，此时x＜ln（a+1），
当x=ln（a+1）时，h（x）取得最小值为h（x）_min=（a+1）-（a+1）ln（a+1）-b
即（a+1）-（a+1）ln（a+1）≥b
那么：b（a+1）≤（a+1）²-（a+1）²ln（a+1）
令F（x）=（a+1）x²-x²lnx，（x＞0）
则F′（x）=x（1-2lnx）
∴F′（x）＞0，可得$0＜x＜\sqrt{e}$，
F′（x）＜0，可得$x＞\sqrt{e}$．
当x=$\sqrt{e}$时，F（x）取得最大值为$\frac{e}{2}$．
即当a=$\sqrt{e}-1$，b=$\frac{\sqrt{e}}{2}$时，b（a+1）取得最大值为$\frac{e}{2}$．
故得b（a+1）的最大值为$\frac{e}{2}$．

点评 本题考查了利用导函数研究单调性和最值的问题，综合性强，计算量大，比较难．