Question

12．已知直线l的方程为y=x+2，点P是抛物线y²=4x上到直线l距离最小的点，点A是抛物线上异于点P的点，直线AP与直线l交于点Q，过点Q与x轴平行的直线与抛物线y²=4x交于点B．
（Ⅰ）求点P的坐标；
（Ⅱ）证明直线AB恒过定点，并求这个定点的坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用点到直线的距离公式，求出最小值，然后求点P的坐标；
（Ⅱ）设点A的坐标为$（{\frac{y_1^2}{4}，{y_1}}）$，显然y₁≠2．通过当y₁=-2时，求出直线AP的方程为x=1；当y₁≠-2时，求出直线AP的方程，然后求出Q的坐标，求出B点的坐标，解出直线AB的斜率，推出AB的方程，判断直线AB恒过定点推出结果．

解答 解：（Ⅰ）设点P的坐标为（x₀，y₀），则$y_0^2=4{x_0}$，
所以，点P到直线l的距离$d=\frac{{|{{x_0}-{y_0}+2}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{\frac{y_0^2}{4}-{y_0}+2}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{{{（{{y_0}-2}）}^2}+4}|}}{{4\sqrt{2}}}≥\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
当且仅当y₀=2时等号成立，此时P点坐标为（1，2）．…（4分）
（Ⅱ）设点A的坐标为$（{\frac{y_1^2}{4}，{y_1}}）$，显然y₁≠2．
当y₁=-2时，A点坐标为（1，-2），直线AP的方程为x=1；可得B（$\frac{9}{4}$，3），直线AB：y=4x-6；
当y₁≠-2时，直线AP的方程为$y-2=\frac{{{y_1}-2}}{{\frac{y_1^2}{4}-1}}（{x-1}）$，
化简得4x-（y₁+2）y+2y₁=0；
综上，直线AP的方程为4x-（y₁+2）y+2y₁=0．
与直线l的方程y=x+2联立，可得点Q的纵坐标为${y_Q}=\frac{{2{y_1}-8}}{{{y_1}-2}}$．
因为，BQ∥x轴，所以B点的纵坐标为${y_B}=\frac{{2{y_1}-8}}{{{y_1}-2}}$．
因此，B点的坐标为$（{\frac{{{{（{{y_1}-4}）}^2}}}{{{{（{{y_1}-2}）}^2}}}，\frac{{2{y_1}-8}}{{{y_1}-2}}}）$．
当$\frac{{2{y_1}-8}}{{{y_1}-2}}≠-{y_1}$，即$y_1^2≠8$时，直线AB的斜率$k=\frac{{{y_1}-\frac{{2{y_1}-8}}{{{y_1}-2}}}}{{\frac{y_1^2}{4}-\frac{{{{（{{y_1}-4}）}^2}}}{{{{（{{y_1}-2}）}^2}}}}}=\frac{{4{y_1}-8}}{y_1^2-8}$．
所以直线AB的方程为$y-{y_1}=\frac{{4{y_1}-8}}{y_1^2-8}（{x-\frac{y_1^2}{4}}）$，
整理得$（{y-2}）y_1^2-4（{x-2}）{y_1}+8（{x-y}）=0$．
当x=2，y=2时，上式对任意y₁恒成立，
此时，直线AB恒过定点（2，2），也在y=4x-6上，
当$y_1^2=8$时，直线AB的方程为x=2，仍过定点（2，2），
故符合题意的直线AB恒过定点（2，2）．…（13分）

点评 本题主要考查抛物线的标准方程与几何性质、直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般，分类与整合等数学思想．