Question

2．已知函数f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x的图象与函数y=g（x）的图象关于直线y=x对称．
（1）若f（g（x））=6-x²，求实数x的值；
（2）若函数y=g（f（x²））的定义域为[m，n]（m≥0），值域为[2m，2n]，求实数m，n的值；
（3）当x∈[-1，1]时，求函数y=[f（x）]²-2af（x）+3的最小值h（a）．

Answer 1

分析 （1）根据函数的对称性即可求出g（x），即可得到f（g（x））=x，解得即可．
（2）先求出函数的解析式，得到$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}=2m}\\{{n}^{2}=2n}\end{array}\right.$，解得m=0，n=2，
（3）由x∈[-1，1]可得t∈[$\frac{1}{2}$，2]，结合二次函数的图象和性质，对a进行分类讨论，即可得到函数y=f²（x）-2af（x）+3的最小值h（a）的表达式．

解答 解：（1）∵函数f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x的图象与函数y=g（x）的图象关于直线y=x对称，
∴g（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}x$，
∵f（g（x））=6-x²，
∴$（\frac{1}{2}）^{lo{g}_{\frac{1}{2}}x}$=6-x²=x，
即x²+x-6=0，
解得x=2或x=-3（舍去），
故x=2，
（2）y=g（f（x²））=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（\frac{1}{{2}^{{x}^{2}}}）$=x²，
∵定义域为[m，n]（m≥0），值域为[2m，2n]，
$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}=2m}\\{{n}^{2}=2n}\end{array}\right.$，
解得m=0，n=2，
（3）令t=（$\frac{1}{2}$）^x，
∵x∈[-1，1]，
∴t∈[$\frac{1}{2}$，2]，
则y=[f（x）]²-2af（x）+3等价为y=m（t）=t²-2at+3，
对称轴为t=a，
当a＜$\frac{1}{2}$时，函数的最小值为h（a）=m（$\frac{1}{2}$）=$\frac{13}{4}$-a；
当$\frac{1}{2}$≤a≤2时，函数的最小值为h（a）=m（a）=3-a²；
当a＞2时，函数的最小值为h（a）=m（2）=7-4a；
故h（a）=$\left\{\begin{array}{l}{7-4a，a＞2}\\{-{a}^{2}+3，\frac{1}{2}≤a≤2}\\{-a+\frac{13}{4}，a＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$

点评 本题考查的知识点是指数函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，分段函数，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．