Question

14．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PB、PD与
平面ABCD所成的角依次是$\frac{π}{4}$和$arctan\frac{1}{2}$，AP=2，E、F依次是PB、PC的中点；
（1）求异面直线EC与PD所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）
（2）求三棱锥P-AFD的体积．

Answer 1

分析 （1）分别以AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．利用向量$\overrightarrow{EC}$与$\overrightarrow{PD}$所成角求得异面直线EC与PD所成角的大小；
（2）直接利用V_P-AFD=V_P-ACD-V_F-ADC求解．

解答 解：（1）分别以AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．
∵AP=2，$∠PBA=\frac{π}{4}$，∠PDA=$arctan\frac{1}{2}$，
∴AB=2，AD=4，则P（0，0，2），D（0，4，0），E（1，0，1），C（2，4，0），
$\overrightarrow{EC}=（1，4，-1）$，$\overrightarrow{PD}=（0，4，-2）$．
∴cos＜$\overrightarrow{EC}，\overrightarrow{PD}$＞=$\frac{\overrightarrow{EC}•\overrightarrow{PD}}{|\overrightarrow{EC}||\overrightarrow{PD}|}$=$\frac{18}{\sqrt{18}×2\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
∴异面直线EC与PD所成角的大小为$arccos\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$；
（2）V_P-AFD=V_P-ACD-V_F-ACD=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×2×2-\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×2×1$=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查异面直线所成角的求法，训练了利用空间向量求异面直线所成角，是中档题．