Question

7．设a，b∈R，函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+a{x^2}+bx+1$，g（x）=e^x（e为自然对数的底数），且函数f（x）的图象与函数g（x）的图象在x=0处有公共的切线．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）证明：当$a≤\frac{1}{2}$时，g（x）＞f（x）在区间（-∞，0）内恒成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出两个函数的导函数，利用函数f（x）的图象与函数g（x）的图象在x=0处有公共的切线，列出方程，即可求出b．
（Ⅱ）求出导函数f'（x），通过-1≤a≤1时，判断函数的单调性，当a²＞1时，判断导函数的符号，判断函数的单调性．
（Ⅲ）令h（x）=g'（x）-f'（x）=e^x-x²-2ax-1，求出导函数h'（x）=e^x-2x-2a，令u（x）=h'（x）=e^x-2x-2a，求出u'（x）=e^x-2．通过当$a≤\frac{1}{2}$时，利用函数的单调性与最值求解即可．

解答 解：（Ⅰ）f'（x）=x²+2ax+b，g'（x）=e^x，
由f'（0）=b=g'（0）=1，得b=1．…（2分）
（Ⅱ）f'（x）=x²+2ax+1=（x+a）²+1-a²，
当a²≤1时，即-1≤a≤1时，f'（x）≥0，从而函数f（x）在定义域内单调递增，
当a²＞1时，$f'（x）=（{x+a+\sqrt{{a^2}-1}}）（{x+a-\sqrt{{a^2}-1}}）$，此时
若$x∈（{-∞，-a-\sqrt{{a^2}-1}}）$，f'（x）＞0，则函数f（x）单调递增；
若$x∈（{-a-\sqrt{{a^2}-1}，-a+\sqrt{{a^2}-1}}）$，f'（x）＜0，则函数f（x）单调递减；
若$x∈（{-a+\sqrt{{a^2}-1}，+∞}）$时，f'（x）＞0，则函数f（x）单调递增．…（6分）
（Ⅲ）令h（x）=g'（x）-f'（x）=e^x-x²-2ax-1，
则h（0）=e⁰-1=0．h'（x）=e^x-2x-2a，令u（x）=h'（x）=e^x-2x-2a，则u'（x）=e^x-2．
当$a≤\frac{1}{2}$时，u（0）=h'（0）=1-2a≥0，
又当x≤0时，u'（x）＜0，从而u（x）单调递减；
所以u（x）＞0．
故当x∈（-∞，0）时，h（x）单调递增；
又因为h（0）=0，故当x＜0时，h（x）＜0，
从而函数g（x）-f（x）在区间（-∞，0）单调递减；
又因为g（0）-f（0）=0
所以g（x）＞f（x）在区间（-∞，0）恒成立．…（14分）

点评 本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想．