Question

17．已知椭圆$T：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左、右焦点分别为F₁，F₂，动点P在椭圆上运动，|PF₁|•|PF₂|的最大值为25，且点P到F₁的距离的最小值为1．
（1）求椭圆T的方程；
（2）直线l与椭圆T有且仅有一个交点A，且l切圆M：x²+y²=R²（其中（3＜R＜5））于点B，求A、B两点间的距离|AB|的最大值；
（3）当过点C（10，1）的动直线与椭圆T相交于两不同点G、H时，在线段GH上取一点D，满足$|{\overrightarrow{GC}}|•|{\overrightarrow{HD}}|=|{\overrightarrow{GD}}|•|{\overrightarrow{CH}}|$，求证：点D在定直线上．

Answer 1

分析 （1）由于$|{P{F_1}}|•|{P{F_2}}|≤{（{\frac{{|{P{F_1}}|+|{P{F_2}}|}}{2}}）^2}={a^2}$，则|PF₁|•|PF₂|的最大值为a²，a²=25，a-c=1，c=4，即可求得b的值，求得椭圆T的方程；
（2）设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，由直线与圆相切代入即可求得A，B坐标，由两点之间的距离公式，利用韦达定理即可求得A、B两点间的距离|AB|的最大值；
（3）设G、H、D的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x，y），由题设知$|{\overrightarrow{GC}}|，|{\overrightarrow{HD}}|，|{\overrightarrow{GD}}|，|{\overrightarrow{CH}}|$，于是$\left\{\begin{array}{l}10=\frac{{{x_1}-λ{x_2}}}{1-λ}\\ 1=\frac{{{y_1}-λ{y_2}}}{1-λ}\end{array}\right.$且$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{{x_1}+λ{x_2}}}{1+λ}\\ y=\frac{{{y_1}+λ{y_2}}}{1+λ}\end{array}\right.$．从而$\left\{\begin{array}{l}10x=\frac{{{x_1}^2-{λ^2}{x_2}^2}}{{1-{λ^2}}}\\ y=\frac{{{y_1}^2-{λ^2}{y_2}^2}}{{1-{λ^2}}}\end{array}\right.$．又G、H在椭圆上，则$\left\{\begin{array}{l}9{x_1}^2+25{y_1}^2=9×25\\ 9{x_2}^2+25{y_2}^2=9×25\end{array}\right.$，化简整理得点D在定直线18x+5y-45=0上．

解答 解：（1）由于$|{P{F_1}}|•|{P{F_2}}|≤{（{\frac{{|{P{F_1}}|+|{P{F_2}}|}}{2}}）^2}={a^2}$，
所以|PF₁|•|PF₂|的最大值为a²，
当|PF₁|=|PF₂|时取等号，由已知可得a²=25，即a=5，又a-c=1，c=4，
所以b²=a²-c²=9，
故椭圆的方程为$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分别为直线l与椭圆和圆的切点，设直线AB的方程为y=kx+m．
因为A既在椭圆上，又在直线AB上，从而有$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\\ y=kx+m\end{array}\right.$，消y得（25k²+9）x²+50kmx+25（m²-9）=0．
由于直线与椭圆相切，故，△=（50km）²-4（25k²+9）×25（m²-9）=0，
从而可得m²=9+25k²①，且${x_1}=\frac{-25k}{m}$②．
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}={R^2}\\ y=kx+m\end{array}\right.$，消y得（k²+1）x²+2kmx+m²-R²=0．由于直线与椭圆相切，得m²=R²（1+k²）③，且${x_2}=-\frac{{k{R^2}}}{m}$④．
由①③得${k^2}=\frac{{{R^2}-9}}{{25-{R^2}}}$，
故${|{AB}|^2}={（{{x_2}-{x_1}}）^2}+{（{{y_2}-{y_1}}）^2}=（{1+{k^2}}）{（{{x_2}-{x_1}}）^2}$，
=$\frac{m^2}{R^2}•\frac{{{k^2}{{（{25-{R^2}}）}^2}}}{m^2}=\frac{{{R^2}-9}}{R^2}•\frac{{{{（{25-{R^2}}）}^2}}}{{25-{R^2}}}=25+9-{R^2}-\frac{225}{R^2}$，
$≤34-2\sqrt{{R^2}×\frac{225}{R^2}}=34-30=4$，即|AB|≤2．
当且仅当$R=\sqrt{15}$时取等号，所以|AB|的最大值为2．
（3）证明：设G、H、D的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x，y），由题设知$|{\overrightarrow{GC}}|，|{\overrightarrow{HD}}|，|{\overrightarrow{GD}}|，|{\overrightarrow{CH}}|$，
均不为零，记$\frac{{|{\overrightarrow{GC}}|}}{{|{\overrightarrow{CH}}|}}=\frac{{|{\overrightarrow{GD}}|}}{{|{\overrightarrow{DH}}|}}=λ$，则λ＞0且λ≠1，又C、G、D、H四点共线，则$\overrightarrow{GC}=-λ\overrightarrow{CH}，\overrightarrow{GD}=λ\overrightarrow{DH}$．
于是$\left\{\begin{array}{l}10=\frac{{{x_1}-λ{x_2}}}{1-λ}\\ 1=\frac{{{y_1}-λ{y_2}}}{1-λ}\end{array}\right.$且$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{{x_1}+λ{x_2}}}{1+λ}\\ y=\frac{{{y_1}+λ{y_2}}}{1+λ}\end{array}\right.$．从而$\left\{\begin{array}{l}10x=\frac{{{x_1}^2-{λ^2}{x_2}^2}}{{1-{λ^2}}}\\ y=\frac{{{y_1}^2-{λ^2}{y_2}^2}}{{1-{λ^2}}}\end{array}\right.$．
又G、H在椭圆上，则$\left\{\begin{array}{l}9{x_1}^2+25{y_1}^2=9×25\\ 9{x_2}^2+25{y_2}^2=9×25\end{array}\right.$，消去x₁，y₁，x₂，y₂得90x+25y=9×25，
即点D在定直线18x+5y-45=0上．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，直线与圆的位置关系，考查基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题．