Question

8．如图，椭圆的方程为$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}$=1，A是其右顶点，B是该椭圆在第一象限部分上的一点，且∠AOB=$\frac{π}{4}$．若点C是椭圆上的动点，则$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{BC}$的取值范围为[-9，3]．

Answer 1

分析 由由椭圆的方程为$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}$=1焦点在x轴上，A点坐标为（$\sqrt{6}$，0），直线OB所在的直线为：y=x，设B点坐标为（x，x），代入即可求得B点坐标，设C点坐标为（$\sqrt{6}$cosθ，$\sqrt{2}$sinθ），则$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{BC}$=（$\sqrt{6}$，0）•（$\sqrt{6}$cosθ-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\sqrt{2}$sinθ-$\frac{\sqrt{6}}{2}$）=6cosθ-3，由余弦函数的性质，即可求得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{BC}$的取值范围．

解答 解：由椭圆的方程为$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}$=1焦点在x轴上，A点坐标为（$\sqrt{6}$，0），∵∠AOB=$\frac{π}{4}$，
∴直线OB所在的直线为：y=x，
设B点坐标为（x，x），
将B点坐标代入到椭圆方程里，有：$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{x}^{2}}{4}=1$
解得：x²=$\frac{3}{2}$，x=$\frac{\sqrt{6}}{2}$
∴B点坐标为（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）
设C点坐标为（$\sqrt{6}$cosθ，$\sqrt{2}$sinθ）
$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{BC}$=（$\sqrt{6}$，0）•（$\sqrt{6}$cosθ-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\sqrt{2}$sinθ-$\frac{\sqrt{6}}{2}$）=6cosθ-3，
∵cosθ∈[-1，1]，
∴当cosθ=-1时，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{BC}$取最小值，最小值为-6-3=-9，
当cosθ=1时，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{BC}$取最大值，最大值为6-3=3，
$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{BC}$的取值范围[-9，3]．
故答案为：[-9，3]．

点评 本题考查椭圆的参数方程，直线与椭圆的关系，考查向量数量积的坐标运算，余弦函数的最值，考查计算能力，属于中档题．