Question

14．设函数f（x）=|2x+1|．
（1）解不等式：f（x）≥x+3；
（2）若不等式f（x）-2|x-1|≥m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）令g（x）=f（x）-2|x-1|，求出g（x）的最小值，从而求出m的范围即可．

解答 解：（1）∵|2x+1|≥x+3，
∴x≥-$\frac{1}{2}$时，2x+1≥x+3，解得：x≥2，
x＜-$\frac{1}{2}$时，-2x-1≥x+3，解得：x≤-$\frac{4}{3}$，
故不等式的解集是{x|x≥2或x≤-$\frac{4}{3}$}；
（2）令g（x）=f（x）-2|x-1|=|2x+1|-2|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{3，x≥1}\\{4x-1，-\frac{1}{2}＜x＜1}\\{-3，x≤-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
故g（x）的最小值是-3，
故m≤-3．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．