Question

19．已知函数f（x）=a（x-lnx）+$\frac{2x-1}{{x}^{2}}$．
（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在点P（1，1）处的切线方程；
（2）当a＞0时，讨论函数f（x）的单调性；
（3）若关于x的方程f（x）=$\frac{5}{x}$-$\frac{2}{{x}^{3}}$在x∈[2，3]上有解，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数f（x）的导数，求出f′（1），求出切线方程即可；
（2）求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（3）问题转化为$\frac{{3x}^{2}+x-2}{{x}^{3}}$=a（x-lnx）在x∈[2，3]上有解，令g（x）=$\frac{{3x}^{2}+x-2}{{x}^{3}}$，x∈[2，3]，令h（x）=a（x-lnx），x∈[2，3]，根据函数的单调性得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）a=0时，f（x）=$\frac{2x-1}{{x}^{2}}$=$\frac{2}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
f′（x）=$\frac{2}{{x}^{3}}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$=$\frac{2}{{x}^{2}}（\frac{1}{x}-1）$，
f′（1）=0，
故切线方程是：y-1=0（x-1），即y=1；
（2）f′（x）=$\frac{（x-1）（{ax}^{2}-2）}{{x}^{3}}$，（a＞0），
令f′（x）=0，解得：x=1或$\sqrt{\frac{2}{a}}$，
①$\sqrt{\frac{2}{a}}$＜1即a＞2时，
在（0，$\sqrt{\frac{2}{a}}$）上f′（x）＞0，f（x）递增，
在（$\sqrt{\frac{2}{a}}$，1）上，f′（x）＜0，f（x）递减，
（1，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）递增，
②$\sqrt{\frac{2}{a}}$＞1，即a∈（0，2）时，
在（0，1）上，f′（x）＜0，f（x）递减，
在（1，$\sqrt{\frac{2}{a}}$）上，f′（x）＞0，f（x）递增，
在（$\sqrt{\frac{2}{a}}$，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）递减；
③a=2时，f′（x）≥0，f（x）递增；
（3）若关于x的方程f（x）=$\frac{5}{x}$-$\frac{2}{{x}^{3}}$在x∈[2，3]上有解，
即$\frac{{3x}^{2}+x-2}{{x}^{3}}$=a（x-lnx）在x∈[2，3]上有解，
令g（x）=$\frac{{3x}^{2}+x-2}{{x}^{3}}$，x∈[2，3]，
则g′（x）=$\frac{-{3x}^{2}-2x+6}{{x}^{4}}$＜0在x∈[2，3]恒成立，
∴g（x）∈[$\frac{28}{27}$，$\frac{3}{2}$]，
令h（x）=a（x-lnx），h′（x）=a（1-$\frac{1}{x}$）＞0，
故h（x）在[2，3]递增，h（x）∈[a（2-ln2），a（3-ln3）]，
∴只需$\left\{\begin{array}{l}{g（2）≥h（2）}\\{g（3）≤h（3）}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}≥a（2-ln2）}\\{\frac{28}{27}≤a（3-ln3）}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{28}{27（3-ln3）}$≤a≤$\frac{3}{2（2-ln2）}$．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．