Question

 已知椭圆E：＋y²＝1(a＞1)的上顶点为M(0，1)，两条过M的动弦MA、MB满足MA⊥MB.

(1) 当坐标原点到椭圆E的准线距离最短时，求椭圆E的方程；

(2) 若Rt△MAB面积的最大值为，求a；

(3) 对于给定的实数a(a＞1)，动直线AB是否经过一定点？如果经过，求出定点坐标(用a表示)；反之，说明理由．

Answer 1

解：(1) 由题，a²＝c²＋1，d＝≥2，当c＝1时取等号，此时a²＝1＋1＝2，故椭圆E的方程为＋y²＝1.

(2) 不妨设直线MA的斜率k>0，直线MA方程为y＝kx＋1，由

① 代入②整理得(a²k²＋1)x²＋2a²kx＝0，

由MA⊥MB知直线MB的斜率为－，

.

当t＝时取“＝”，∵  t＝≥2，得a>＋1.而(S_△MAB)_max＝＝，故a＝3或a＝ (舍)．综上a＝3.

(3) 由对称性，若存在定点，则必在y轴上．

当k＝1时，A，直线AB过定点Q.下面证明A、Q、B三点共线：

由k_AQ＝k_BQ知A、Q、B三点共线，即直线AB过定点Q.