Question

11．已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对于x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，且f（-4）=-2，当x₁，x₂∈[0，3]，且x₁≠x₂时，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，则给出下列命题：①f（2012）=-2 ②函数y=f（x）图象的一条对称轴为x=-6 ③函数y=f（x）在[-9，-6]上为减函数 ④方程f（x）=0在[-9，9]上有四个根．其中所有正确命题的序号为①②③④．

Answer 1

分析 ①在f（x+6）=f （x）+f （3）中，令x=-3，可得f（-3）=0，f（x）是R上的偶函数，从而可判断①；
②由（1）知f（x+6）=f （x），所以f（x）的周期为6，再利用f（x）是R上的偶函数，可得f（-6-x）=f（-6+x），从而可判断②；
③依题意知，函数y=f（x）在[0，3]上为增函数，利用f（x）的周期为6，且f（x）是R上的偶函数，可判断函数y=f（x）在[-9，-6]上为减函数，从而可判断③；
④由题意可知，y=f（x）在[0，9]上有2个零点3和9，从而可判断④．

解答 解：①：对于任意x∈R，都有f（x+6）=f （x）+f （3）成立，令x=-3，则f（-3+6）=f（-3）+f （3），即f（-3）=0，
又因为f（x）是R上的偶函数，所以f（3）=0，
则f（x+6）=f（x）+f（3）=f（x），即函数f（x）是周期为6的周期函数．
①f（2012）=f（335×6+2）=f（2），
∵f（-4）=-2，
∴f（-4+6）=f（-4）=-2，即f（2）=-2，即f（2012）=-2，正确；
②：由（1）知f（x+6）=f （x），所以f（x）的周期为6，
又∵f（x）是R上的偶函数，所以f（x+6）=f（-x），
而f（x）的周期为6，
∴f（x+6）=f（-6+x），f（-x）=f（-x-6），
即f（-6-x）=f（-6+x），即直线x=-6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴，即②正确；
③：当x₁，x₂∈[0，3]，且x₁≠x₂时，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，
则函数y=f（x）在[0，3]上为增函数，
∵f（x）是R上的偶函数，∴函数y=f（x）在[-3，0]上为减函数
而f（x）的周期为6，
∴函数y=f（x）在[-9，-6]上为减函数，故③正确；
④f（3）=0，f（x）的周期为6，函数y=f（x）在[0，3]上为增函数，在[3，6]上为减函数，
∴y=f（x）在[0，6]上只有一个零点3，∴f（3+6）=f（9）=0，
则f（-3）=f（3）=0，f（-9）=f（9）=0，
所以，函数y=f（x）在[-9，9]上有4个零点，故④正确．
故答案为：①②③④

点评 本题考查命题的真假判断与应用，着重考查函数的奇偶性、周期性、对称性及零点的确定的综合应用，属于难题．