Question

3．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-[x]，x≤0}\\{f（x-1），x＞0}\end{array}\right.$，其中[x]表示不超过x的最大整数，如：[-1，2]=-2，[1，2]=1，[1]=1．则（i）f（3.15）=0.15； （ii）若关于x的方程f（x）=kx+k有三个不同的根，则实数k的取值范围是$\frac{1}{4}$≤k＜$\frac{1}{3}$或-1＜k≤-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （i）根据条件直接求解
（ii）画出函数f（x）=x-[x]的图象，利用数学结合探索题中交点个数，得出k的范围．

解答 解：（i）f（3.15）=f（0.15）=f（-0.85）=-0.85-[-0.85]=-0.85-（-1）=0.15；
（ii）函数f（x）=x-[x]的图象如下图所示：

y=kx+k表示恒过A（-1，0）点斜率为k的直线
若方程f（x）=kx+k有3个相异的实根．
则函数f（x）=x-[x]与函数f（x）=kx+k的图象有且仅有3个交点
由图可得：
当y=kx+k过（2，1）点时，k=$\frac{1}{3}$，
当y=kx+k过（3，1）点时，k=$\frac{1}{4}$，
当y=kx+k过（-2，1）点时，k=-1，
当y=kx+k过（-3，1）点时，k=-$\frac{1}{2}$，
则实数k满足 $\frac{1}{4}$≤k＜$\frac{1}{3}$或-1＜k≤-$\frac{1}{2}$．

点评 考查了周期函数和利用数学结合解决方程根的问题．