Question

8．已知关于x的不等式x²-4tx+2t+30≤0的解集为∅，求实数t的范围K以及函数f（t）=（t+3）（1+|t-1|），（t∈K）的值域．

Answer 1

分析 由不等式x²-4tx+2t+30≤0的解集为∅，得判别式小于0求得t的范围，写出分段函数，分段求得值域后取并集得答案．

解答 解：由不等式x²-4tx+2t+30≤0的解集为∅，得△=16t²-4（2t+30）＜0，解得$-\frac{5}{2}＜t＜3$，
即K=$（-\frac{5}{2}，3）$．
$f（t）=\left\{\begin{array}{l}{（t+3）t，1≤t＜3}\\{（t+3）（2-t），-\frac{5}{2}＜t＜1}\end{array}\right.$．
当1≤t＜3时，4≤f（t）＜18；当$-\frac{5}{2}＜t＜1$时，$\frac{9}{4}＜f（t）≤\frac{25}{4}$．
综上，f（t）的值域为$（\frac{9}{4}，18）$．

点评 本题考查函数值域的求法，考查数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，注意分段函数的值域分段求，最后取并集，是中档题．