Question

14．已知等差数列{a_n}中，S₃=21，S₆=24，求数列{|a_n|}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 设公差为d，由S₃=21，S₆=24，利用等差数列的前n项和公式可得d，a₁．分别解出a_n≥0，a_n＜0．再利用绝对值的意义、等差数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：设公差为d，∵S₃=21，S₆=24，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{1}+\frac{3×2}{2}d=21}\\{6{a}_{1}+\frac{6×5}{2}d=24}\end{array}\right.$，
解方程组得：d=-2，a₁=9．
∴a_n=9+（n-1）（-2）=-2n+11．
由a_n≥0，解得$n≤\frac{11}{2}$，即n≤5．
∴当n≤5时，a_n＞0；当n≥6时，a_n＜0．
由数列{a_n}的前n项和为：S_n=9n+$\frac{n（n-1）}{2}×（-2）$=-n²+10n．
∴当n≤5时，T_n=S_n=-n²+10n．
当n≥6时，T_n=a₁+a₂+…+a₅-a₆-…-a_n
=2S₅-S_n
=n²-10n+50．
即S_n=$\left\{\begin{array}{l}{-{n}^{2}+10n，n≤5}\\{{n}^{2}-10n+50，n≥6}\end{array}\right.$（n∈N^*）．

点评 本题考查了绝对值数列求和问题、等差数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．