Question

【题目】已知函数，k∈R．

(I)求函数f(x)的单调区间；

(II)当k>0时，若函数f(x)在区间(1，2)内单调递减，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

【解析】分析：（Ⅰ）先求出函数的定义域，求导数后根据的取值通过分类讨论求单调区间即可．（Ⅱ）将问题转化为在(1，2)上恒成立可得所求．

详解：（I）函数的定义域为．

由题意得，

（1）当时，

令，解得；令，解得．

（2）当时，

①当，即时，

令，解得或；令，解得．

②当时，恒成立，函数在上为单调递增函数；

③当，即时，

令，解得或；令，解得．

综上所述，

当时，函数的单调递增区间为（0,1），单调递减区间为；

当时，函数的单调递增区间为（0,1），，单调递减区间为；

当时，函数的单调递增区间为；

当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为．

（II）因为函数在（1，2）内单调递减，

所以在（1,2）上恒成立．

又因为，则，

所以在（1,2）上恒成立，

即在（1,2）上恒成立，

因为，

所以，

又，

所以．

故k的取值范围为．