Question

12．观察下列不等式：①$\frac{1}{{\sqrt{3}}}$＜1；②$\frac{1}{{\sqrt{3}}}+\frac{1}{{\sqrt{6}}}＜\sqrt{2}$；③$\frac{1}{{\sqrt{3}}}+\frac{1}{{\sqrt{6}}}+\frac{1}{{\sqrt{12}}}＜\sqrt{3}$…，则第5个等式为$\frac{1}{{\sqrt{3}}}+\frac{1}{{\sqrt{6}}}+\frac{1}{{\sqrt{12}}}+\frac{1}{{\sqrt{24}}}+\frac{1}{{\sqrt{48}}}＜\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 分析已知中的不等式两边项数及被开方数的变化规律，归纳可得第n个应满足：不等式左边有n项，分子全为1，分母的被开方数是以3为首项，以2为公比的等比数列，不等式右边的被开方数是n，进而可得答案．

解答 解：由已知中的不等式：
①$\frac{1}{{\sqrt{3}}}$＜1；
②$\frac{1}{{\sqrt{3}}}+\frac{1}{{\sqrt{6}}}＜\sqrt{2}$；
③$\frac{1}{{\sqrt{3}}}+\frac{1}{{\sqrt{6}}}+\frac{1}{{\sqrt{12}}}＜\sqrt{3}$…，
…
归纳可得：第n个应满足：
不等式左边有n项，分子全为1，分母的被开方数是以3为首项，以2为公比的等比数列，
不等式右边的被开方数是n，
故第5个不等式为：$\frac{1}{{\sqrt{3}}}+\frac{1}{{\sqrt{6}}}+\frac{1}{{\sqrt{12}}}+\frac{1}{{\sqrt{24}}}+\frac{1}{{\sqrt{48}}}＜\sqrt{5}$，
故答案为：$\frac{1}{{\sqrt{3}}}+\frac{1}{{\sqrt{6}}}+\frac{1}{{\sqrt{12}}}+\frac{1}{{\sqrt{24}}}+\frac{1}{{\sqrt{48}}}＜\sqrt{5}$

点评 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．