Question

【题目】如图，楔形几何体由一个三棱柱截去部分后所得，底面侧面，，楔面是边长为2的正三角形，点在侧面的射影是矩形的中心，点在上，且.

（1）证明：平面；

（2）求楔形几何体的体积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）连接交于，连接，，则是的中点，，利用线段的度量计算证明，即可得答案；

（2）由（1）可知，楔形几何体由直三棱柱和四棱锥组成，利用柱体和锥体的体积公式计算即可.

（1）如图，连接交于，连接，.

则是的中点，.

因为平面，所以平面平面，

又平面平面，所以平面平面，

根据题意，四边形和是全等的直角梯形，

三角形和是全等的等腰直角三角形，

所以，，

在直角三角形中，，

所以，，.

于是，，所以，.

因为平面，，

所以平面.

（2）由（1）可知，楔形几何体由直三棱柱和四棱锥组成，

直三棱柱的体积为，

四棱锥的体积为，

所以楔形几何体的体积为.