Question

7．如图，在正三棱ABC-A₁B₁C₁（侧棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，AC=CC₁=6，M、N分别是CC₁、AB的中点
（Ⅰ）求证：CN∥平面AB₁M．
（Ⅱ）求二面角A-MB₁-A₁的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以N为原点，NC为x轴，NA为y轴，过N作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明CN∥平面AB₁M．
（Ⅱ）求出平面MB₁A₁的法向量和平面AB₁M的法向量，由此能求出平面二面角A-MB₁-A₁的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）以N为原点，NC为x轴，NA为y轴，
过N作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
N（0，0，0），C（3$\sqrt{3}$，0，0），A（0，3，0），
B₁（0，-3，6），M（3$\sqrt{3}$，0，3），
$\overrightarrow{NC}$=（3$\sqrt{3}$，0，0），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，-6，6），$\overrightarrow{AM}$=（3$\sqrt{3}$，3，-3），
设平面AB₁M的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=-6y+6z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}=3\sqrt{3}{x}_{\;}+3{y}_{\;}-3{z}_{\;}=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，1），
∵$\overrightarrow{NC}$•$\overrightarrow{n}$=0，且CN?平面AB₁M，∴CN∥平面AB₁M．
解：（Ⅱ）A₁（0，3，6），$\overrightarrow{M{B}_{1}}$=（-3$\sqrt{3}$，-3，3），
$\overrightarrow{M{A}_{1}}$=（-3$\sqrt{3}$，3，3），
设平面MB₁A₁的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{M{B}_{1}}=-3\sqrt{3}a-3b+3c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{M{A}_{1}}=-3\sqrt{3}a+3b+3c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，0，$\sqrt{3}$），
又平面AB₁M的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，1），
设二面角A-MB₁-A₁的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}•\sqrt{4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
∴二面角A-MB₁-A₁的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．