Question

用一个平面去截一个正方体，所得截面不可能是
（1）钝角三角形；
（2）直角三角形；
（3）菱形；
（4）正五边形；
（5）正六边形．
下述选项正确的是（　　）

• A、（1）（2）（5）
• B、（1）（2）（4）
• C、（2）（3）（4）
• D、（3）（4）（5）

Answer 1

考点：棱柱的结构特征

专题：作图题,空间位置关系与距离

分析：如图所示截面为三角形ABC，设OA=a，OB=b，OC=c，应用余弦定理，证明是锐角三角形；如图，取相对棱的中点和相对顶点，得到的四边形是菱形；正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，
如图为正六边形；经过正方体的一个顶点去截就可得到5边形．但此时不可能是正五边形．

解答： 解：如图所示截面为三角形ABC，OA=a，OB=b，OC=c，
AC²=a²+c²，AB²=a²+b²，BC²=b²+c²
∴cos∠CAB=

AB2+AC2-BC2

2AB•AC

=

2a2

2 a2+b2• a2+c2

＞0，
∴∠CAB为锐角，同理∠ACB与∠ABC也为锐角，即△ABC为锐角三角形；
如右图，取相对棱的中点，得到的四边形是菱形；
正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，
如图为正六边形；
经过正方体的一个顶点去切就可得到5边形．
但此时不可能是正五边形．
故不可能是（1）（2）（4）．
故选：B．

点评：此题主要考查了正方体的截面．解决本题的关键是理解截面经过几个面得到的截面就是几边形．