Question

11．已知圆C：x²+y²-4x+3=0，
（1）求过M（3，2）点的圆的切线方程；
（2）直线l：2mx+2y-1-3m=0被圆C截得的弦长最短时，求直线l的方程；
（3）过原点的直线m与圆C交于不同的两点A、B，线段AB的中点P的轨迹为C₁，直线$y=k（x-\frac{5}{2}）$与曲线C₁只有一个交点，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由圆的方程求出圆心和半径，易得点A在圆外，当切线的斜率不存在时，切线方程为x=3．当切线的斜率存在时，设切线的斜率为k，写出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k，可得切线方程；
（2）当直线l⊥CN时，弦长最短，可求直线l的方程；
（3）求出轨迹C₁，利用直线$y=k（x-\frac{5}{2}）$与曲线C₁只有一个交点，求k的值．

解答 解：（1）圆C：x²+y²-4x+3=0，即 （x-2）²+y²=1，表示以（2，0）为圆心，半径等于1的圆．
当切线的斜率不存在时，切线方程为x=3符合题意．
当切线的斜率存在时，设切线斜率为k，则切线方程为 y-2=k（x-3），即kx-y-3k+2=0，
所以，圆心到切线的距离等于半径，即$\frac{|-k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，解得k=$\frac{3}{4}$，此时，切线为3x-4y-1=0．
综上可得，圆的切线方程为x=3或3x-4y-1=0…（3分）
（2）直线l：2mx+2y-1-3m=0恒过定点$N（{\frac{3}{2}，\frac{1}{2}}）$
当直线l⊥CN时，弦长最短，此时直线的方程为x-y-1=0…（7分）
（3）设点P（x，y），∵点P为线段AB的中点，曲线C是圆心为C（2，0），半径r=1的圆，∴CP⊥OP，$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{OP}=0$∴化简得（x-1）²+y²=1…（9分）
由于点P在圆内，由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-4x+3=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-2x=0}\end{array}\right.$得x=$\frac{3}{2}$
所以C₁：${（{x-1}）^2}+{y^2}=1（{\frac{3}{2}＜x≤2}）$（注：范围也可写成$x＞\frac{3}{2}$）…（10分）
圆心到直线的距离d=$\frac{|-\frac{3}{2}k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，∴$k=±\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，
过（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{5}}{2}$）时，k=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
因为直线$y=k（x-\frac{5}{2}）$与曲线C₁只有一个交点，所以$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤k≤\frac{{\sqrt{3}}}{2}$或$k=±\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$…（12分）

点评 本题考查求圆的切线方程的方法，考查轨迹方程，考查点到直线距离公式的运用，属于中档题．