Question

1．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点F作直线交该双曲线于A、B两点，P为x轴上一点，且|PA|=|PB|，若|AB|=8，则|FP|=（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． 8
• D． 16

Answer 1

分析 设弦AB的中点为（m，n），双曲线的右焦点为（c，0），右准线方程为x=$\frac{{a}^{2}}{c}$，直线AB的方程为y=k（x-c），代入双曲线的方程，消去y，运用两根之和，运用双曲线的第二定义可得|AB|，以及P的坐标，计算即可得到．

解答 解：设弦AB的中点为（m，n），双曲线的右焦点为（c，0），右准线方程为x=$\frac{{a}^{2}}{c}$，
由e=2，即c=2a，b=$\sqrt{3}$a．
直线AB的方程为y=k（x-c），代入双曲线的方程，
可得（b²-a²k²）x²+2ca²k²x-a²c²k²-a²b²=0，
即为（3a²-a²k²）x²+4a³k²x-4a⁴k²-3a⁴=0，
x₁+x₂=$\frac{4a{k}^{2}}{{k}^{2}-3}$．
则由双曲线的第二定义可得|AB|=|AF+|BF|=2（x₁-$\frac{{a}^{2}}{c}$）+2（x₂-$\frac{{a}^{2}}{c}$）=2（x₁+x₂）-2a=8，
即有2•$\frac{4a{k}^{2}}{{k}^{2}-3}$=8+2a，即$\frac{6a{k}^{2}+6a}{{k}^{2}-3}$=8，①
则m=$\frac{2a{k}^{2}}{{k}^{2}-3}$，n=k（m-2a）=$\frac{6ak}{{k}^{2}-3}$，
弦AB的中垂线方程为y-n=-$\frac{1}{k}$（x-m），
可得P（$\frac{8a{k}^{2}}{{k}^{2}-3}$，0），
则|PF|=|$\frac{8a{k}^{2}}{{k}^{2}-3}$-2a|=|$\frac{6a{k}^{2}+6a}{{k}^{2}-3}$|，
由①可得，|PF|=8．
故选C．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查双曲线的第二定义和离心率的运用，同时注意直线的垂直平分线方程的求法，考查运算能力，属于中档题和易错题．