Question

6．如图，ABCD是平行四边形，已知AB=2BC=4，BD=2$\sqrt{3}$，BE=CE，平面BCE⊥平面ABCD．
（Ⅰ）证明：BD⊥CE；
（Ⅱ）若BE=CE=$\sqrt{10}$，求平面ADE与平面BCE所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出BD⊥BC，EF⊥BC，从而EF⊥平面ABCD，进而EF⊥BD，由此得到BD⊥平面BCE，从而BD⊥CE．
（Ⅱ）以B为坐标原点，BC，BD所在直线分别为x，y轴，以过点B且与FE平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ADE与平面BCE所成二面角的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）∵ABCD是平行四边形，且CD=AB=2BC=4，BD=2$\sqrt{3}$，
∴CD²=BD²+BC²，∴∠CBD=90°，即BD⊥BC，
取BC的中点F，连接EF，∵BE=CE，∴EF⊥BC，…（2分）
又∵平面BCE⊥平面ABCD，平面BCE∩平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD，
∵BD?平面ABCD，∴EF⊥BD，
∵EF∩BC=F，EF，BC?平面BCE，∴BD⊥平面BCE，
∵EC?平面BCE，∴BD⊥CE．…（6分）
解：（Ⅱ）∵BE=CE=$\sqrt{10}$，由（Ⅰ）得EF=$\sqrt{B{E}^{2}-B{F}^{2}}$=$\sqrt{10-1}=3$．
以B为坐标原点，BC，BD所在直线分别为x，y轴，以过点B且与FE平行的直线为z轴，
建立空间直角坐标系（如图），
则A（2，-2$\sqrt{3}$，0），D（0，-2$\sqrt{3}$，0），E（-1，0，3），
∴$\overrightarrow{AE}$=（-3，2$\sqrt{3}$，3），$\overrightarrow{DE}$=（-1，2$\sqrt{3}$，3），…（8分）
设平面ADE的一个法向量为$\overrightarrow{a}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{AE}=-3x+2\sqrt{3}y+3z=0}\\{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{DE}=-x+2\sqrt{3}y+3z=0}\end{array}\right.$，取y=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{a}$=（0，$\sqrt{3}$，-2），
由（Ⅰ）知BD⊥平面BCE，∴设平面BCE的一个法向量为$\overrightarrow{b}$=（0，1，0），…（11分）
设平面ADE与平面BCE所成二面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{7}$，
即平面ADE与平面BCE所成二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{21}}{7}$．…（12分）

点评 本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．