Question

19．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量$\overrightarrow{a}$=（-1，2），又点A（8，0），B（n，t），C（ksinθ，t），θ∈R．
（1）若$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{a}$，且$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{5}|\overrightarrow{OA}|$，求向量$\overrightarrow{OB}$；
（2）若向量$\overrightarrow{AC}$与向量$\overrightarrow{a}$共线，常数k＞0，求f（θ）=tsinθ的值域．

Answer 1

分析 （1）$\overrightarrow{AB}$=（n-8，t），由$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{a}$，且$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{5}|\overrightarrow{OA}|$，可得-（n-8）+2t=0，$\sqrt{（n-8）^{2}+{t}^{2}}$=8$\sqrt{5}$，联立解出即可得出．
（2）$\overrightarrow{AC}$=（ksinθ-8，t），由向量$\overrightarrow{AC}$与向量$\overrightarrow{a}$共线，常数k＞0，可得t=-2ksinθ+16，f（θ）=tsinθ=-2ksin²θ+16sinθ=-2k$（sinθ-\frac{4}{k}）^{2}$+$\frac{32}{k}$．对k分类讨论，利用三角函数的值域、二次函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AB}$=（n-8，t），∵$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{a}$，且$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{5}|\overrightarrow{OA}|$，∴-（n-8）+2t=0，$\sqrt{（n-8）^{2}+{t}^{2}}$=8$\sqrt{5}$，
解得t=±8，t=8时，n=24；t=-8时，n=-8．
∴向量$\overrightarrow{OB}$=（24，8），（-8，-8）．（2）$\overrightarrow{AC}$=（ksinθ-8，t），
（2）∵向量$\overrightarrow{AC}$与向量$\overrightarrow{a}$共线，常数k＞0，∴t=-2ksinθ+16，
∴f（θ）=tsinθ=-2ksin²θ+16sinθ=-2k$（sinθ-\frac{4}{k}）^{2}$+$\frac{32}{k}$．
①k＞4时，$0＜\frac{4}{k}＜1$，∴sinθ=$\frac{4}{k}$时，f（θ）=tsinθ取得最大值$\frac{32}{k}$，
sinθ=-1时，f（θ）=tsinθ取得最小值-2k-16，此时函数f（θ）的值域为$[-2k-16，\frac{32}{k}]$．
②4＞k＞0时，$\frac{4}{k}$＞1．∴sinθ=1时，f（θ）=tsinθ取得最大值-2k+16，
sinθ=-1时，f（θ）=tsinθ取得最小值-2k-16，
此时函数f（θ）的值域为[-2k-16，-2k+16]．

点评 本题考查了向量共线定理、模的计算公式、三角函数的值域、二次函数的单调性，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．