Question

18．已知圆O：x²+y²=2，直线l过两点A（1，-$\frac{3}{2}$），B（4，0）
（1）求直线l的方程；
（2）若P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC，PD，切点为C，D，求证：直线CD过定点，并求出定点坐标．

Answer 1

分析 （1）利用两点式求直线l的方程；
（2）由题意可知：O、P、C、D四点共圆且在以OP为直径的圆上，C、D在圆O：x²+y²=2上可得直线C，D的方程，即可求得直线CD是否过定点

解答 解：（1）∵直线l过两点A（1，-$\frac{3}{2}$），B（4，0），
∴直线l的方程为$\frac{y+\frac{3}{2}}{0+\frac{3}{2}}=\frac{x-1}{4-1}$，即y=$\frac{1}{2}x$-2；
证明：（2）由题意可知：O、P、C、D四点共圆且在以OP为直径的圆上，
设P（t，$\frac{1}{2}t-2$），其方程为：x（x-t）+y（y-$\frac{1}{2}t$+2）=0，
又C、D在圆O：x²+y²=2上
∴l_CD：$tx+（\frac{1}{2}t-2）y-2$=0，
即（x+$\frac{y}{2}$）t-2y-2=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{y}{2}=0}\\{2y+2=0}\end{array}\right.$，得x=$\frac{1}{2}$，y=-1，
∴直线CD过定点（$\frac{1}{2}$，-1）．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查直线恒过定点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．