Question

7．若直线x+y+m=0上存在点P可作圆O：x²+y²=1的两条切线PA、PB，切点为A、B，且∠APB=60°，则实数m的取值范围为$[-2\sqrt{2}，2\sqrt{2}]$．

Answer 1

分析 当PO和直线x+y+m=0垂直时，∠APB的最大值为60°，此时∠APO=30°，PO=2r=2，从而圆心O到直线x+y+m=0的距离小于等于2，再利用点到直线的距离公式求得实数m的取值范围．

解答 解：由题意可得，当PO和直线x+y+m=0垂直时，∠APB的最大值为60°，此时∠APO=30°，PO=2r=2，
则圆心O到直线x+y+m=0的距离小于等于2，即$\frac{|m|}{\sqrt{2}}$≤2，解得m∈$[-2\sqrt{2}，2\sqrt{2}]$，
故答案为$[-2\sqrt{2}，2\sqrt{2}]$．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．