Question

2．已知0＜α＜$\frac{π}{2}$，cos（2π-α）-sin（π-α）=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$
（1）求sinα+cosα的值；
（2）求sin（2α-$\frac{π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 （1）利用诱导公式，同角三角函数的基本关系，求得sinα+cosα的值．
（2）利用求得sinα和cosα的值，再利用两角和差的三角公式、二倍角公式，求得sin（2α-$\frac{π}{4}$）的值．

解答 解：（1）∵已知0＜α＜$\frac{π}{2}$，cos（2π-α）-sin（π-α）=cosα-sinα=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
平方可得1-2sinαcosα=$\frac{1}{5}$，∴2sinαcosα=$\frac{4}{5}$，
∴（sinα+cosα）²=1+2sinαcosα=$\frac{9}{5}$，∴sinα+cosα=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
（2）∵cosα-sinα=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sinα+cosα=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴sinα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，∴sin2α=2sinαcosα=$\frac{4}{5}$ cos2α=2cos²α-1=-$\frac{3}{5}$，
∴sin2αcos$\frac{π}{4}$-cos2αsin$\frac{π}{4}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}•\frac{\sqrt{2}}{2}$-（-$\frac{3}{5}$）•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式、二倍角公式、诱导公式的应用，属于基础题．