Question

9．已知向量$\overrightarrow x$、$\overrightarrow y$满足：$|{\overrightarrow x}$|=1，$|{\overrightarrow y}$|=2，且${（\overrightarrow x-2\overrightarrow y）_{\;}}{•_{\;}}$$（2\overrightarrow x-\overrightarrow y）=5$．
（1）求$\overrightarrow x$与$\overrightarrow y$的夹角θ；
（2）若$（\overrightarrow x-m\overrightarrow y）⊥\overrightarrow y$，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）根据平面向量的数量积公式，求出向量的夹角θ的大小；
（2）根据两向量垂直，数量积为0，列出方程求m的值．

解答 解：（1）∵${（\overrightarrow x-2\overrightarrow y）_{\;}}{•_{\;}}（2\overrightarrow x-\overrightarrow y）=5$，
∴2${|\overrightarrow{x}|}^{2}$-5$\overrightarrow{x}$•$\overrightarrow{y}$+2${|\overrightarrow{y}|}^{2}$=5，
又$|{\overrightarrow x}$|=1，$|{\overrightarrow y}$|=2，
∴解得$\overrightarrow{x}$•$\overrightarrow{y}$=1；…（2分）
又∵$cosθ=\frac{{{{\overrightarrow x}_{\;}}{•_{\;}}\overrightarrow y}}{{|{\overrightarrow x}|•|{\overrightarrow y}|}}=\frac{1}{2}$，…（3分）
且θ∈[0，π]，
∴$θ=\frac{π}{3}$；…（4分）
（2）∵$（\overrightarrow x-m\overrightarrow y）⊥\overrightarrow y$，
∴${（\overrightarrow x-m\overrightarrow y）_{\;}}{•_{\;}}\overrightarrow y=0$，
即${\overrightarrow x_{\;}}{•_{\;}}\overrightarrow y-m{|{\overrightarrow y}|^2}=0$，…（6分）
∴1-4m=0，
解得m=$\frac{1}{4}$．…（8分）

点评 本题考查了平面向量的数量积与模长公式、垂直的应用问题，是基础题目．