Question

4．在单调递增的等差数列{a_n}中，a₃，a₇，a₁₅成等比数列，前5项之和等于20．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设${b_n}=\frac{2}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，记数列{b_n}的前n项和为T_n，求使${T_n}≤\frac{24}{25}$成立的n的最大值．

Answer 1

分析 （1）设单调递增的等差数列{a_n}的公差为d（d＞0），运用等差数列的通项公式和求和公式，得到首项和公差的方程，解方程即可得到所求；
（2）求得${b_n}=\frac{2}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{2}{（n+1）（n+2）}$=2（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$），运用数列的求和方法：裂项相消求和，可得前n项和为T_n，再解不等式，可得n的最大值．

解答 解：（1）设单调递增的等差数列{a_n}的公差为d（d＞0），
a₃，a₇，a₁₅成等比数列，可得a₇²=a₃a₁₅，
即（a₁+6d）²=（a₁+2d）（a₁+14d），
化为a₁=2d，
又前5项之和等于20，
即有5a₁+$\frac{5×4}{2}$d=20，即为a₁+2d=4，
解得a₁=2，d=1，
数列{a_n}的通项公式为a_n=a₁+（n-1）d=2+n-1=n+1；
（2）${b_n}=\frac{2}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{2}{（n+1）（n+2）}$=2（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$），
数列{b_n}的前n项和为T_n=2（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
=2（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$）=1-$\frac{2}{n+2}$，
由T_n=1-$\frac{2}{n+2}$，使${T_n}≤\frac{24}{25}$成立，即1-$\frac{2}{n+2}$≤$\frac{24}{25}$，
可得n≤48．
使${T_n}≤\frac{24}{25}$成立的n的最大值为48．

点评 本题考查等差数列的通项公式及求和公式和等比数列中项的性质，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．