Question

3．已知椭圆${C_1}：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$和圆${C_2}：{x^2}+{y^2}={b^2}$，若椭圆C₁上存在点P，过点P作圆C₂的两条切线PA，PB（A，B为对应的切点），且满足$∠APB=\frac{π}{3}$，则椭圆最圆的时离心率e=（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{4}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{4}$

Answer 1

分析 连接OA，OB，OP，依题意，O、P、A、B四点共圆，可得∠APB=60°，∠APO=∠BPO=30°，在直角三角形OAP中，∠AOP=60°，cos∠AOP=$\frac{b}{|OP|}$=$\frac{1}{2}$，可得b＜|OP|≤a，可得椭圆C的离心率的取值范围．

解答 解：连接OA，OB，OP，依题意，O、P、A、B四点共圆，
∵∠APB=60°，
∠APO=∠BPO=30°，
在直角三角形OAP中，∠AOP=60°，
∴cos∠AOP=$\frac{b}{|OP|}$=$\frac{1}{2}$，
∴|OP|=2b，
∴b＜|OP|≤a，
∴2b≤a，
∴4b²≤a²，
由a²=b²+c²，即4（a²-c²）≤a²，
∴3a²≤4c²，
即e≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又0＜e＜1，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤e＜1，
∴椭圆C的离心率的取值范围是$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤e＜1．
∴椭圆最圆的时离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、四点共圆的性质、直角三角形的边角关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．