Question

10．已知抛物线x²=8y的焦点F到双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线的距离为$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，点P是抛物线x²=8y上一动点，P到双曲线C的右焦点F₂的距离与到直线y=-2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的标准方程为$\frac{x^2}{4}$-y²=1．

Answer 1

分析 确定抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，进而可得a=2b，再利用抛物线的定义，结合P到双曲线C的右焦点F₂（c，0）的距离与到直线y=-2的距离之和的最小值为3，可得FF₂=3，从而可求双曲线的几何量，从而可得结论．

解答 解：抛物线x²=8y的焦点F（0，2），
双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）一条渐近线的方程为bx-ay=0，
由抛物线x²=8y的焦点F到双曲线C的渐近线的距离为$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
可得d=$\frac{2a}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
即有2b=a，
由P到双曲线C的右焦点F₂（c，0）的距离与到直线y=-2的距离之和的最小值为3，
由抛物线的定义可得P到准线的距离即为P到焦点F的距离，
可得|PF₂|+|PF|的最小值为3，
连接FF₂，可得|FF₂|=3，
即c²+4=9，
解得c=$\sqrt{5}$，
由c²=a²+b²，a=2b，
解得a=2，b=1，
则双曲线的方程为$\frac{x^2}{4}$-y²=1．
故答案为：$\frac{x^2}{4}$-y²=1．

点评 本题主要考查了抛物线、双曲线的几何性质，考查抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．