Question

15．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞b＞0）$的左焦点为F（-1，0），且椭圆上的点到点F的距离最小值为$\sqrt{2}-1$．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知经过点F的动直线l与椭圆交于不同的两点A，B，点$M（-\frac{5}{4}，0）$，证明：$\overline{MA}•\overline{MB}$为定值．

Answer 1

分析 （1）由已知结合椭圆的性质得到$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{a-c=\sqrt{2}-1}\end{array}\right.$，求得a，c的值，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）根据直线的斜率是否存在，分情况设直线方程，再与椭圆方程联立，设出交点坐标，结合根与系数的关系，利用向量的坐标运算证明．

解答 （1）解：由椭圆上的点到点F（-1，0）的距离最小值为$\sqrt{2}-1$，
得$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{a-c=\sqrt{2}-1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{2}}\\{c=1}\end{array}\right.$，
∴b²=a²-c²=1，
故所求椭圆的方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$；
（2）证明：①当直线l与x轴垂直时，l的方程为x=-1，
可求得$A（-1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}），B（-1，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，
此时，$\overline{MA}•\overline{MB}$=$（-1+\frac{5}{4}，\frac{\sqrt{2}}{2}）•（-1+\frac{5}{4}，-\frac{\sqrt{2}}{2}）=-\frac{7}{16}$；
②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+1），
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{x^2}{2}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$，得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${x_1}+{x_2}=-\frac{{4{k^2}}}{{1+2{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{2{k^2}-2}}{{1+2{k^2}}}$，
∴：$\overline{MA}•\overline{MB}$=$（{x}_{1}+\frac{5}{4}，{y}_{1}）•（{x}_{2}+\frac{5}{4}，{y}_{2}）$=$（{x}_{1}+\frac{5}{4}）（{x}_{2}+\frac{5}{4}）+{y}_{1}{y}_{2}$
=${x}_{1}{x}_{2}+\frac{5}{4}（{x}_{1}+{x}_{2}）+\frac{25}{16}+k（{x}_{1}+1）（k{x}_{2}+1）$
=$（1+{k}^{2}）{x}_{1}{x}_{2}+（{k}^{2}+\frac{5}{4}）（{x}_{1}+{x}_{2}）+{k}^{2}+\frac{25}{16}$
=$（1+{k}^{2}）\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}+（{k}^{2}+\frac{5}{4}）（-\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}）+{k}^{2}+\frac{25}{16}$
=$\frac{-4{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}+\frac{25}{16}$
=$-2+\frac{25}{16}$
=-$\frac{7}{16}$．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的综合问题及向量坐标运算．根据韦达定理，巧妙利用根与系数的关系设而不求，是解决本类问题的关键，是中档题．