Question

5．已知函数f（x）=e^x-ax（e为自然对数的底数，a为常数）在点（0，1）处的切线斜率为-1．
（Ⅰ）求a的值及函数f（x）的极值；
（Ⅱ）证明：当x＞0时，x²＜e^x；
（Ⅲ）证明：对任意给定的正数c，总存在x₀，使得当x∈（x₀，+∞），恒有x²＜ce^x．

Answer 1

分析 （I）f′（x）=e^x-a，由f′（0）=-1，解得a=2．可得f（x）=e^x-2x，f′（x）=e^x-2．利用导数研究其单调性极值即可得出．
（II）令g（x）=e^x-x²，则g′（x）=e^x-2x，由（I）可得：g′（x）≥f（ln2）＞0，利用g（x）在R上单调递增，即可证明．
（III）法一：首项证明当x∈（0，+∞）时，恒有$\frac{1}{3}{x}^{3}$＜e^x，令h（x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}$-e^x，由（II）可知：当x＞0时，e^x＞x²，利用h（x）的单调性可得：$\frac{1}{3}{x}^{3}$＜e^x．取x₀=$\frac{3}{c}$，当x＞x₀时，即可证明x²＜ce^x．
法二：对任意给定的正数c，取x₀=$\frac{4}{\sqrt{c}}$，由（II）可知：当x＞0时，e^x＞x²，可得e^x＞$（\frac{x}{2}）^{2}$•$（\frac{x}{2}）^{2}$，当x＞x₀时，恒有x²＜ce^x．
法三：①若c≥1，则e^x≤ce^x．由（II）可知：当x＞0时，ce^x＞x²．取x₀=0，即可证明x²＜ce^x．
②若0＜c＜1，令$k=\frac{1}{c}$＞1，要使不等式x²＜ce^x成立，只要e^x＞kx²成立．而要使e^x＞kx²成立，只要x＞ln（kx²），即只要x＞2lnx+lnk成立．令h（x）=x-2lnx-lnk，利用导数研究其单调性极值即可证明．

解答 （I）解：f′（x）=e^x-a，∵f′（0）=-1=1-a，∴a=2．
∴f（x）=e^x-2x，f′（x）=e^x-2．
令f′（x）=0，解得x=ln2．
当x＜ln2时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x＞ln2时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．
∴当x=ln2时，函数f（x）取得极小值，为f（ln2）=2-2ln2，无极大值．
（II）证明：令g（x）=e^x-x²，则g′（x）=e^x-2x，由（I）可得：g′（x）=f（x）≥f（ln2）＞0，∴g（x）在R上单调递增，
因此：x＞0时，g（x）＞g（0）=1＞0，∴x²＜e^x．
（III）证明：法一：首项证明当x∈（0，+∞）时，恒有$\frac{1}{3}{x}^{3}$＜e^x，令h（x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}$-e^x，则h′（x）=x²-e^x，
由（II）可知：当x＞0时，e^x＞x²，从而h′（x）＜0，h（x）在（0，+∞）上单调递减．
∴h（x）＜h（0）=-1＜0，即$\frac{1}{3}{x}^{3}$＜e^x．
取x₀=$\frac{3}{c}$，当x＞x₀时，有$\frac{1}{c}{x}^{2}＜\frac{1}{3}{x}^{3}$＜e^x．
因此，对任意给定的正数c，总存在x₀，使得当x∈（x₀，+∞），恒有x²＜ce^x．
法二：对任意给定的正数c，取x₀=$\frac{4}{\sqrt{c}}$，由（II）可知：当x＞0时，e^x＞x²，∴e^x=${e}^{\frac{x}{2}}$$•{e}^{\frac{x}{2}}$＞$（\frac{x}{2}）^{2}$•$（\frac{x}{2}）^{2}$，
当x＞x₀时，e^x＞$（\frac{x}{2}）^{2}$•$（\frac{x}{2}）^{2}$＞$\frac{4}{c}$$•（\frac{x}{2}）^{2}$=$\frac{1}{c}{x}^{2}$，
对任意给定的正数c，总存在x₀，使得当x∈（x₀，+∞），恒有x²＜ce^x．
法三：①若c≥1，则e^x≤ce^x．由（II）可知：当x＞0时，e^x＞x²，
∴当x＞0时，ce^x＞x²．
取x₀=0，当x∈（x₀，+∞）时，恒有x²＜ce^x．
②若0＜c＜1，令$k=\frac{1}{c}$＞1，要使不等式x²＜ce^x成立，只要e^x＞kx²成立．
而要使e^x＞kx²成立，只要x＞ln（kx²），即只要x＞2lnx+lnk成立．
令h（x）=x-2lnx-lnk，则h′（x）=1-$\frac{2}{x}$=$\frac{x-2}{x}$，
∴当x＞2时，h′（x）＞0，h（x）在（2，+∞）内单调递增．
取x₀=16k＞16，∴h（x）在（x₀，+∞）内单调递增．
又h（x₀）=16k-2ln（16k）-lnk=8（k-ln2）+3（k-lnk）+5k，
易知k＞lnk，k＞ln2，5k＞0．
∴h（x₀）＞0，即存在x₀=$\frac{16}{c}$，当x∈（x₀，+∞）时，恒有x²＜ce^x．
综上：对任意给定的正数c，总存在x₀，使得当x∈（x₀，+∞），恒有x²＜ce^x．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的性质、方程的解法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．