Question

17．设常数a＞0，（x²+$\frac{a}{x}$）⁵的二项展开式中x⁴项的系数为40，记等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₂+a₄=6，S₄=5a，则a₁₀=10．

Answer 1

分析 由条件利用二项式定理，二项展开式的通项公式，求得 a=2．再由条件利用等差数列的性质，求得 a₃和a₂ 的值，可得a₁₀的值．

解答 解：设常数a＞0，（x²+$\frac{a}{x}$）⁵的二项展开式中的通项公式为T_r+1=${C}_{5}^{r}$•a^r•x^10-3r，
令10-3r=4，求得r=2，可得x⁴项的系数为${C}_{5}^{2}$•a²=40，∴a=2．
记等差数列{a_n}的前n项和为S_n，∵已知a₂+a₄=2a₃=6，∴a₃=3．
∵S₄=5a=10=$\frac{4{（a}_{1}{+a}_{4}）}{2}$=$\frac{4{（a}_{2}{+a}_{3}）}{2}$=2（a₂+3），∴a₂=2，∴d=a₃-a₂=3-2=1，
则a₁₀=a₃+7d=3+7•1=10，
故答案为：10．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，等差数列的性质，属于中档题．