Question

15．试判断命题“设f（x）=x²+ax+b，a，b∈R，若f（x）=x无实根，则必有f（x）＞x且f（f（x））＞x”的逆否命题的真假．

Answer 1

分析 根据逆否命题的等价性先判断原命题的真假．即可得到结论．

解答 解：若f（x）=x无实根，
∵f（x）=x²+ax+b对应的抛物线开口向上，
∴f（x）的图象恒在y=x的上方，即f（x）＞x成立，
∵f（x）＞x成立，
∴设t=f（x），
则f（t）＞t=f（x）＞x，
即f（t）＞x，
即f（f（x））＞x成立，
则原命题为真命题，则命题的逆否命题为真命题．

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及逆否命题的等价性，利用一元二次函数与方程之间的关系，利用换元法是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．