Question

11．.圆C：x²+y²-2x-4y-20=0，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0
（1）已知直线l过定点M，求定点M的坐标；
（2）求直线l被圆C截得的弦长最短时m的值以及最短长度．

Answer 1

分析 （1）利用直线系化简，通过解方程求解定点坐标．
（2）求出圆的圆心与半径，判断弦长最小值的位置，求解即可．

解答 解：（1）直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0化为：（2x+y-7）m+（x+y-4）=0，
可得$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-7=0}\\{x+y-4=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$ 即M（3，1）…（5分）
（2）圆C的圆心C（1，2），半径r=5．设直线l与圆C相交于点A，B，则当AB⊥CM时，弦AB最短．
直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0的斜率为：$-\frac{2m+1}{m+1}$=-$\frac{1}{{k}_{CM}}$=-$\frac{1-3}{2-1}$=2，解得m=$-\frac{3}{4}$．
此时d=CM=$\sqrt{5}$，|AB|_min=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=4$\sqrt{5}$…（10分）

点评 本题考查直线与圆的位置关系的应用，直线系方程的应用，考查计算能力．