Question

20．设x＞0，y＞0，z＞0，xyz=1，求证：$\frac{1}{{x}^{3}y}$+$\frac{1}{{y}^{3}z}$+$\frac{1}{{z}^{3}x}$≥$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$．

Answer 1

分析 利用柯西不等式证明．

解答 证明：∵xyz=1，
∴$\frac{1}{{x}^{3}y}$+$\frac{1}{{y}^{3}z}$+$\frac{1}{{z}^{3}x}$=$\frac{z}{{x}^{2}}$+$\frac{x}{{y}^{2}}$+$\frac{y}{{z}^{2}}$，
由柯西不等式得：（$\frac{z}{{x}^{2}}$+$\frac{x}{{y}^{2}}$+$\frac{y}{{z}^{2}}$）（xy+yz+xz）≥（$\frac{\sqrt{xyz}}{x}$+$\frac{\sqrt{xyz}}{y}$+$\frac{\sqrt{xyz}}{z}$）²=（$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$）²，
∵xy+yz+xz=$\frac{xy}{xyz}+\frac{yz}{xyz}+\frac{xz}{xyz}$=$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$，
∴$\frac{z}{{x}^{2}}$+$\frac{x}{{y}^{2}}$+$\frac{y}{{z}^{2}}$≥$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$，
即$\frac{1}{{x}^{3}y}$+$\frac{1}{{y}^{3}z}$+$\frac{1}{{z}^{3}x}$≥$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$．

点评 本题考查了柯西不等式的应用，属于中档题．