Question

（2006•崇文区一模）某足球赛事中甲乙两只球队进入决赛，但乙队明显处于弱势，乙队为争取胜利，决定采取这样的战术：顽强防守，0：0逼平甲队进入点球大战．假设在点球大战中双方每名运动员进球概率均为

3

4

．现规定：点球大战中每队各出5名队员，且每名队员都各踢一球，求：
（I）乙队以4：3点球取胜的概率有多大？
（II）设点球中乙队得分为随机变量ξ，求乙队在五个点球中得分ξ的概率分布和数学期望．

Answer 1

分析：（I）根据相互独立事件的概率公式以及n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式进行求解即可；
（II）点球中乙队得分为随机变量ξ的取值可能为0，1，2，3，4，5，然后根据n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式分别求出相应的概率，列出分布列，最后利用数学期望公式解之即可．

解答：解：（I）乙队以4：3点球取胜的概率为P=

C

4 5

(

3

4

) 4(

1

4

)1

C

3 5

(

3

4

)3(

1

4

)2=25×

81×27

219

=0.1043
（II）点球中乙队得分为随机变量ξ的取值可能为0，1，2，3，4，5
P（ξ=0）=

C

0 5

(

3

4

)0(

1

4

)5=

1

210

，P（ξ=1）=

C

1 5

(

3

4

)1(

1

4

)4=

15

210

，P（ξ=2）=

C

2 5

(

3

4

)2(

1

4

)3=

45

29

P（ξ=3）=

C

3 5

(

3

4

)3(

1

4

)2=

135

29

，P（ξ=3）=

C

4 5

(

3

4

)4(

1

4

)1=

405

210

，P（ξ=5）=

C

5 5

(

3

4

)5(

1

4

)0=

243

210

∴ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3	4	5
P	1 210	15 210	45 29	135 29	405 210	243 210

∴Eξ=0×

1

210

+1×

15

210

+2×

45

29

+3×

135

29

+4×

405

210

+5×

243

210

=3.75

点评：本题主要考查了离散型随机变量的期望和分布列，以及二项分布与n次独立重复试验的模型，同时考查了计算能力，属于中档题．