Question

19．已知函数f（x）=$\sqrt{x+lnx-a}$，若存在x∈[1，e]，使f（f（x））=x成立，则实数a的取值范围是[e+1-e²，0]．

Answer 1

分析 根据题意，问题转化为“存在b∈[1，e]，使f（b）=f^-1（b）”，即y=f（x）的图象与函数y=f^-1（x）的图象有交点，且交点的横坐标b∈[1，e]．由y=f（x）的图象与y=f^-1（x）的图象关于直线y=x对称，得到函数y=f（x）的图象与y=x有交点，且交点横坐标b∈[1，e]．因此，将方程$\sqrt{x+lnx-a}$=x，化简整理得x+lnx-x²=a，记F（x）=x+lnx-x²，G（x）=a，求出F（x）=x+lnx-x²在[1，e]内的值域，即可得到实数a的取值范围．

解答 解：由f（f（b））=b，可得f（b）=f^-1（b），
其中f^-1（x）是函数f（x）的反函数
因此命题“存在b∈[1，e]使f（f（b））=b成立”，转化为
“存在b∈[1，e]，使f（b）=f^-1（b）”，
即y=f（x）的图象与函数y=f^-1（x）的图象有交点，
且交点的横坐标b∈[1，e]，
∵y=f（x）的图象与y=f^-1（x）的图象关于直线y=x对称，
∴y=f（x）的图象与函数y=f^-1（x）的图象的交点必定在直线y=x上，
由此可得，y=f（x）的图象与直线y=x有交点，且交点横坐标b∈[1，e]，
根据$\sqrt{x+lnx-a}$=x，化简整理得x+lnx-x²=a．
记F（x）=x+lnx-x²，G（x）=a，
由x∈[1，e]，F′（x）=1+$\frac{1}{x}$-2x=$\frac{（-2x-1）（x-1）}{x}$，
当x＞1可得F′（x）＜0，当0＜x＜1可得F′（x）＞0，
则x=1处F（x）取得最大值0，x=e处取得最小值e+1-e²．
可得F（x）∈[e+1-e²，0]，即e+1-e²≤a≤0．
即实数a的取值范围为[e+1-e²，0]．
故答案为：[e+1-e²，0]．

点评 本题给出含有根号与指数式的基本初等函数，在存在b∈[1，e]使f（f（b））=b成立的情况下，求参数a的取值范围．着重考查了基本初等函数的图象与性质、互为反函数的两个函数的图象特征等知识，属于中档题．