Question

△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c．
①若ab＞c²，则C＜

π

3

；        ②若a+b＞2c，则C＜

π

3

；
③若a³+b³=c³，则C＜

π

2

；      ④若（a+b）c＜2ab，则C＜

π

2

；
⑤若（a²+b²）c²＜2a²b²，则C＞

π

3

．
其中所有叙述正确的命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：三角函数的求值

分析：①利用余弦定理结合均值不等式；②利用余弦定理，再结合均值定理即可证明；③利用反证法，假设C≥

π

2

时，推出与题设矛盾，即可证明此命题正确；④取特殊值，在满足条件的情况下，判断角C的大小；⑤把不等式变形求出c²的范围，然后利用基本不等式结合余弦定理求解角C的范围．

解答： 解：①∵a²+b²≥2ab，
∴由余弦定理得cosC=

a2+b2-c2

2ab

，
∵ab＞c²，
∴-c²＞-ab，
∵a²+b²≥2ab（当且仅当a=b是取等号），
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

＞

2ab-ab

2ab

=

1

2

，即0＜C＜

π

3

，选项①正确；
②∵a+b＞2c，
∴（a+b）²＞4c²，即c²＜

(a+b)2

4

，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

，即0＜C＜

π

3

，选项②正确；
③假设C≥

π

2

，则c²≥a²+b²，
∴c³≥ca²+cb²＞a³+b³，与a³+b³=c³矛盾，
∴假设不成立．即C＜

π

2

成立，选项③正确．
④任取a=b=2，c=1，满足（a+b）c＜2ab得C为锐角，选项④正确；
⑤由已知条件（a²+b²）c²＜2a²b²，得：c²＜

2a2b2

a2+b2

，
由余弦定理得：cosC=

a2+b2-c2

2ab

＞

2ab-ab

2ab

=

1

2

，
∵C为三角形内角，
∴0＜C＜

π

3

，命题⑤错误．
则命题正确的是①②③④．
故答案为：①②③④

点评：此题考查了余弦定理，基本不等式的运用，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．