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已知f(x)=mx2+3(m-4)x-9(m∈R).
(1)试判断函数f(x)的零点的个数;
(2)若函数f(x)有两个零点x1,x2,求d=|x1-x2|的最小值;
(3)若m=1,且不等式f(x)-a>0对x∈[0,2]恒成立,求实数a的取值范围.
(1)当m=0时,f(x)=-12x-9,函数的零点为x=-
3
4
,即函数只有一个零点
当m≠0时,△=9(m-4)2+36m=(m-2)2+12>0
∴函数f(x)的零点的个数为2
故当m=0时,函数f(x)的零点的个数为1;当m≠0时,函数f(x)的零点的个数为2
(2)若函数f(x)有两个零点x1,x2,则m≠0,
x1+x2=
12-3m
m
,x1•x2=
-9
m

∴d=|x1-x2|=
(x1+x22-4x1x2
=
(
12-3m
m
2
+
36
m
=12
(
1
m
-
1
8
2
+
3
64
≥12×
3
64
=
3
3
2
  (m=8时取等号)
∴d=|x1-x2|的最小值为
3
3
2

(3)若m=1,则f(x)=x2-9x-9
∴不等式f(x)-a>0对x∈[0,2]恒成立,即x2-9x-9>a对x∈[0,2]恒成立
只需f(x)在[0,2]上的最小值大于a
∵f(x)=x2-9x-9=(x-
9
2
2-
117
4
≥f(2)=-23
∴a<-23
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A、(-∞,-
3
]∪[
3
,+∞)
B、{-
3
3
}
C、(-∞,-
3
)∪(
3
,+∞)
D、[-
3
3
]

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13
x3-mx2+(m2-1)x+n
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